Fungsi komposisi adalah proses menggabungkan dua atau lebih fungsi menjadi satu fungsi tunggal.

Di artikel ini, kamu bakal belajar tentang pengertian, cara menghitung, serta contoh soal fungsi komposisi.

Apa Itu Fungsi Komposisi?

Fungsi komposisi adalah proses menggabungkan dua atau lebih fungsi menjadi satu fungsi baru.

Hasil dari fungsi pertama akan digunakan sebagai input untuk fungsi kedua. Dalam bentuk matematika, komposisi fungsi ditulis sebagai

$f(g(x))$ atau $f \circ g (x)$, dibaca “f bundaran g dari x”.

Cara gampangnya, kamu cari dulu hasil fungsi $g(x)$ dulu, lalu hasilnya dimasukkan ke fungsi $f(x)$. Hasil akhir dari proses ini adalah nilai dari $f(g(x))$.

Analogi Mesin Pada Fungsi Komposisi

Fungsi itu ibarat sebuah mesin yang mengubah bahan jadi sebuah produk, maka fungsi komposisi tuh ibarat menggabungkan dua atau lebih mesin buat bikin produk.

Misalnya kamu mau bikin roti. Tepung harus diolah dulu jadi adonan pakai mixer. Nah, adonan itu kemudian dipanggang di oven biar jadi roti.

Kalau kita tarik ke matematika, proses mengolah adonan itu adalah $g(x)$ dan proses memanggang adalah $f(x)$, maka hasil dari $g(x)$ harus masuk ke $f(x)$ dulu biar bisa jadi roti.

Seluruh proses tersebut bisa ditulis sebagai $f(g(x))$. Inilah yang disebut sebagai fungsi komposisi.

Contoh Fungsi Komposisi

Misal kita punya 2 fungsi yaitu $f(x) = 2x + 5$ dan $g(x) = x + 3$, maka fungsi komposisinya adalah

$f(x) = 2x+5$
$f(g(x)) = 2(g(x)) + 5$
$f(g(x)) = 2(x + 3) + 5$
$f(g(x)) = 2x + 6 + 5$
$f(g(x)) = 2x + 11$

Kalau kamu masukin input x = 1, hasil f(g(x)) adalah 13. Hasil ini bakal sama kalau kita cari nilai g(1) dulu yaitu 4 dan kita masukin ke fungsi f dan hasil f(4) bakal 13 juga.

Simbol Fungsi Komposisi

Simbol yang digunakan untuk menyatakan fungsi komposisi adalah tanda bundaran $\circ$.

Tapi simbol ini juga bisa ditulis dalam bentuk lain, yaitu menggunakan tanda kurung seperti ini $f(g(x))$.

$(f \circ g)(x)$ atau $f(g(x))$, berarti kamu menjalankan fungsi $g$ dulu, lalu hasilnya dimasukkan ke fungsi $f$.
$(g \circ f)(x)$ atau $g(f(x))$, berarti $f(x)$ dijalankan lebih dulu, baru hasilnya masuk ke $g$

Cara Menyelesaikan Fungsi Komposisi

Untuk menyelesaikan fungsi komposisi seperti $f(g(x))$, urutan ngerjainnya tuh sangat penting, soalnya hasilnya bisa aja beda kalau urutannya dibalik jadi $g(f(x))$.

Sesuai urutan operasi matematika, kita harus menyelesaikan bagian yang ada di dalam kurung terlebih dahulu.

Maka untuk menghitung $f(g(x))$, kamu harus menyelesaikan $g(x)$ dulu, terus hasilnya dimasukkan ke dalam $f(x)$.

Sebaliknya, kalau $g(f(x))$, kamu hitung $f(x)$ dulu, baru deh hasilnya dimasukkan ke dalam $g(x)$.

Secara sederhana langkah-langkahnya gini. Misalkan kamu ingin mencari f(g(a)), maka:

Hitung $g(a)$ → masukkan nilai a ke dalam fungsi $g(x)$.
Terus masukkan hasil dari $g(a)$ ke dalam fungsi $f(x)$ → sehingga kamu memperoleh $f(g(a))$.

Contoh gampangnya gini, diketahui:

$f(x) = x^2 − 2x$
$g(x) = x − 5$
Cari nilai $f(g(−1))$

Buat ngerjainnya, kita perlu cari dulu nilai g(-1)
$g(-1) = -1 -5$
$g(-1) = -6$

Habis itu kita masukin hasil dari $g(-1)$ ke fungsi $f(x)$
$f(-6) = (-6)^2 - 2(-6)$
$f(-6) = 36 + 12$
$f(-6) = 48$

Jadi, $f(g(-1)) = 48$

Mencari Fungsi Komposisi dari Grafik

Kamu tuh juga bisa nyari hasil fungsi komposisi melalui grafik. Kadang informasi mengenai fungsi itu nggak ditulis dalam bentuk aljabar tetapi dalam bentuk grafik.

Kalau ada titik $(x, y)$ pada grafik fungsi $f(x)$, maka $f(x) = y$.

Nah, untuk mencari $f(g(a))$ dari grafik, kamu bisa ikuti langkah berikut:

Cari nilai $g(a)$ terlebih dahulu, lihat grafik $g(x)$, lalu cari titik dengan absis $x = a$. Nilai ordinatnya adalah hasil dari $g(a)$.
Selanjutnya, cari $f(g(a))$. gunakan hasil dari langkah pertama sebagai input untuk grafik $f(x)$, lalu cari nilai y-nya.

Dengan kata lain, kamu membaca nilai dari grafik $g(x)$ lebih dulu, terus gunakan hasilnya buat membaca nilai dari grafik $f(x)$.

Contoh : Cari nilai $f(g(5))$ dari grafik berikut ini

Kita cari $g(5)$ terlebih dahulu yaitu 3. Kemudian $x = 3$ kita masukan ke $f(x)$ sehingga nilai $f(3)$ adalah 2.

Jadi $f(g(5)) = 2$

Domain Fungsi Komposisi

Domain fungsi komposisi sebenarnya hampir sama aja kayak domain fungsi biasa, yaitu himpunan nilai x yang bisa dimasukkan ke dalam fungsi.

Tetapi, karena fungsi komposisi melibatkan dua atau lebih fungsi sekaligus, kamu harus hati-hati. Nilai $x$ bukan cuma harus valid di fungsi pertama $g(x)$, tapi juga hasil dari g(x) harus bisa masuk ke fungsi kedua $f(x)$.

Cara Mencari Domain Fungsi Komposisi

Untuk mencari domain fungsi komposisi, kamu tidak cukup hanya melihat domain $f(x)$ atau $g(x)$ secara terpisah. Kamu perlu melakukan dua langkah:

Pastikan $x$ berada dalam domain $g(x)$
Karena dalam $f(g(x))$, fungsi g dikerjakan terlebih dahulu, maka input x harus valid di $g(x)$.
Pastikan hasil $g(x)$ berada dalam domain $f(x)$
Setelah menghitung $g(x)$, nilai tersebut akan menjadi input bagi $f$. Maka, hasil dari $g(x)$ harus cocok dengan domain $f(x)$.

Cara mengeceknya:

Langkah pertama: cari domain dari $g(x)$
Langkah kedua: gunakan hasil $g(x)$ sebagai input ke $f(x)$, dan lihat di mana $f(g(x))$ terdefinisi

Contoh:

$g(x) = x − 3$ → domain: semua x real
$f(x) = \sqrt{x}$ → hanya terdefinisi untuk x ≥ 0

Gabungan: $f(g(x)) = \sqrt{(x − 3)}$

Supaya $\sqrt{(x − 3)}$ terdefinisi, maka $x-3 \geq 0$, jadi $x \geq 3$

Jadi, domain dari $f(g(x))$ adalah $x \geq 3$

Range Fungsi Komposisi

Kalau domain fungsi komposisi ngomongin soal nilai x yang boleh digunakan, maka range fungsi komposisi ngomongin soal hasil akhir dari fungsi tersebut, yaitu kumpulan nilai $f(g(x))$ yang mungkin muncul setelah semua proses fungsi selesai.

Menentukan range dari fungsi komposisi bisa lebih tricky dibanding domain, karena kita perlu melihat gimana dua fungsi atau lebih bekerja bersama.

Cara Menentukan Range Fungsi Komposisi

Tentukan range dari $g(x)$ terlebih dahulu
ini adalah semua nilai yang mungkin keluar dari fungsi g.
Gunakan range $g(x)$ sebagai domain untuk $f(x)$
karena hasil dari $g$ akan masuk ke $f$, maka kita lihat nilai-nilai apa saja yang mungkin keluar dari $f$ setelah menerima input dari $g$.
Cari nilai-nilai hasil dari $f(g(x))$

kamu bisa gunakan tabel, grafik, atau hitung langsung jika fungsi diketahui secara aljabar.

Contoh:

$g(x) = x^2$ → range $g(x) = x \geq 0$
$f(x) = \sqrt{x}$ → domain $f(x) = x \geq 0$, range $f(x) = x \geq 0$

Maka $f(g(x)) = \sqrt{(x^2)} = |x|$ → range-nya adalah $x \geq 0$

Range fungsi komposisi bisa lebih mudah ditentukan kalau kamu sudah tahu bentuk grafik atau punya nilai numerik yang bisa diuji. Tapi prinsip utamanya tetap, hasil dari fungsi pertama harus bisa masuk ke fungsi kedua, dan dari situ kita lihat output akhirnya.

Contoh Soal

Contoh 1:

Jika $f(x) = \sqrt{(x − 2)}$ dan $g(x) = \ln(1 + x^2)$, tentukan hasil dari komposisi fungsi $(g \circ f)(x)$.

Penyelesaian:

Ingat, $(g \circ f)(x)$ artinya kita memasukkan f(x) ke dalam g(x), atau
$g(f(x)) = g(\sqrt{(x − 2)})$
$= \ln(1 + (\sqrt{(x − 2)})^2)$
$= \ln(1 + (x − 2))$
$= \ln(x − 1)$

Jawaban: $(g \circ f)(x) = \ln(x − 1)$

Contoh 2:

Jika $g(x) = 9x + 2$, hitung nilai dari fungsi komposisi $g(g(x))$.

Penyelesaian:

Masukkan $g(x)$ ke dalam $g$:
$g(g(x)) = g(9x + 2)$
$= 9(9x + 2) + 2$
$= 81x + 18 + 2$
$= 81x + 20$

Jawaban: $g(g(x)) = 81x + 20$

Contoh 3:

Diketahui dua fungsi $f(x) = kx − 4$ dan $g(x) = kx + 6$. Jika $f(g(x)) = g(f(x))$ untuk semua nilai x, tentukan nilai k.

Penyelesaian:

Hitung masing-masing fungsi komposisinya:

$f(g(x)) = f(kx + 6)$
$= k(kx + 6) − 4$
$= k²x + 6k − 4$
$g(f(x)) = g(kx − 4)$
$= k(kx − 4) + 6$
$= k²x − 4k + 6$

Karena $f(g(x)) = g(f(x))$, maka:

$k²x + 6k − 4 = k²x − 4k + 6$
$6k − 4 = −4k + 6$
$10k = 10$
$k = 1$

Jawaban: $k = 1$

Kesimpulan

Jadi, fungsi komposisi itu intinya menggabungkan dua fungsi atau lebih jadi satu alur. Hasil dari fungsi pertama dimasukin ke fungsi kedua, makanya ditulis kayak $f(g(x))$.

Urutan ngerjainnya penting banget, karena $f(g(x)) dan g(f(x))$ bisa kasih hasil yang beda. Pas ngerjain soal, kamu cukup inget langkah-langkahnya:

Kerjain dulu fungsi yang di dalam (biasanya $g(x)$),
Perhatiin domain dan range biar nggak salah masukin nilai,
Dan kalau bentuknya grafik atau tabel, tinggal baca nilai-nilainya dengan teliti.

Konsep ini sering banget keluar di soal UTBK dan ulangan sekolah. Tapi tenang, makin sering latihan, makin gampang kok ngerjainnya. Kamu bisa mulai latihan soal fungsi komposisi disini.

Apa itu Fungsi Komposisi Serta Cara Mengerjakan, dan Contoh Soal

Baca Juga

Mulai.css-ma3k8r{font-weight:var(--chakra-fontWeights-extrabold);-webkit-padding-start:var(--chakra-space-1);padding-inline-start:var(--chakra-space-1);-webkit-padding-end:var(--chakra-space-1);padding-inline-end:var(--chakra-space-1);}#CuriStart

Belajar UTBK Sekarang!!

Mulai#CuriStart