Barisan dan Deret Aritmatika : Materi dan Pembahasan Soal

Barisan dan deret aritmetika, bedanya apa sih? Yuk bahas bareng Miku!

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan dengan selisih antara dua suku yang berurutan selalu sama atau konstan. Selisih ini disebut juga dengan beda ($b$).
Bentuk umum barisan aritmetika yaitu
$U_1,U_2,U_3,...$
atau
$a,a+b,a+2b,...$
dengan
$a$ adalah suku pertama
$b$ adalah beda atau selisih antara dua suku yang berurutan

Deret aritmetika adalah hasil penjumlahan dari setiap suku dalam barisan aritmetika atau biasanya dinotasikan dengan $S_n$.
Bentuk umum deret aritmetika yaitu
$S_n=U_1+U_2+U_3+...$
atau
$S_n=a+(a+b)+(a+2b)+...$

Rumus Barisan Aritmetika

Ada beberapa rumus yang diperlukan dalam barisan aritmetika.

• Rumus Suku ke-$n$
  $U_n=a+(n-1)b$
  atau
  $U_n=S_n-S_{n-1}$
• Rumus Beda
  $b=U_n-U_{n-1}$
• Rumus Suku Tengah
  Dalam barisan aritmetika terdapat suku tengah ($U_t$), yaitu suku yang urutannya berada di tengah-tengah antara urutan $U_1$ sampai $U_n$. Rumus dari suku tengah yaitu
  $U_t=\frac{1}{2}(a+U_n)$

Rumus Deret Aritmetika

Secara umum, rumus deret aritmetika adalah $S_n=U_1+U_2+...+U_n$. Namun, ada beberapa cara lain untuk menghitung nilai dari suatu deret aritmetika.

• Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n
  $S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n)$
• Jika diketahui suku pertama dan beda
  $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
• Jika diketahui nilai dari suku tengah
  $S_n=n.U_t$

Pembahasan Soal

1. Jika barisan aritmetika dengan suku ke-3 adalah 5 dan suku ke-4 adalah 7, maka nilai dari suku ke-10 adalah ...
   Penyelesaian :
   $U_3=a+(n-1)b=a+(3-1)b=a+2b=5$ .... (1)
   $U_4=a+(n-1)b=a+(4-1)b=a+3b=7$ .... (2)
   Jika persamaan (2) dikurangi dengan persamaan (1), maka akan diperoleh nilai beda ($b$)
   $a+3b=7$
   $a+2b=5$
   ________ -
   $b=2$
   Mencari nilai dari suku pertama atau $a$ dengan mensubstitusikan nilai $b$ ke dalam persamaan (1)
   $a+2b=5$
   $a+2(2)=5$
   $a+4=5$
   $a=1$
   Setelah mengetahui nilai $a$ dan $b$, kita dapat mencari nilai suku ke-10 dengan rumus suku ke-$n$
   $U_n=a+(n-1)b$
   $U_{10}=1+(10-1)2$
   $U_{10}=1+(9)2$
   $U_{10}=1+18$
   $U_{10}=19$
   Jadi, suku ke-10 dari barisan aritmetika di atas adalah 19.
   
   
2. Diketahui suku pertama barisan aritmetika bernilai 2 dan suku ke-5 bernilai 10. Berapa nilai suku tengahnya?
   Penyelesaian :
   $U_1=2$
   $U_5=10$
   $U_t=\frac{1}{2}(a+U_n)$
   $U_t=\frac{1}{2}(2+U_5)$
   $U_t=\frac{1}{2}(2+10)$
   $U_t=\frac{1}{2}(12)$
   $U_t=6$
   Jadi, suku tengahnya bernilai 6.
   
   
3. Diketahui suku pertama deret aritmetika bernilai 5 dan suku ke-n bernilai 30. Deret tersebut memiliki beda 5. Berapakah nilai $S_n$?
   Penyelesaian :
   Untuk mengetahui nilai dari $S_n$ kita perlu mencari berapa nilai $n$ terlebih dahulu
   $U_1=5$
   $U_n=30$
   $U_n=a+(n-1)b=30$
   $U_n=5+(n-1)5=30$
   $U_n=(n-1)5=25$
   $(n-1)=5$
   $n=6$
   Substitusi nilai $n$ ke rumus $S_n$
   $S_n=\frac{n}{2}(U_1+U_n)$
   $S_n=\frac{6}{2}(5+30)$
   $S_n=3(5+30)$
   $S_n=3(35)$
   $S_n=105$
   Jadi, nilai dari $S_n$ adalah 105.

Mudah kan materi barisan dan deret aritmetika ini. Dalam materi barisan dan deret, selain aritmetika, ada juga barisan dan deret geometri. Penasaran apa perbedaannya? Kamu bisa baca materinya di sini yaa.

Kunci belajar matematika adalah rajin dan konsisten. Semakin banyak latihan soal akan sangat membantu untuk memahami matematika. Yuk, perbanyak latihan soal barisan dan deret aritmetika lainnya di www.kuadran.co!