Teori Bilangan : Materi dan Pembahasan Soal

Halo-halo pembaca kuadran hehe, kalo kamu baca artikel ini berarti kamu lagi berlajar materi Teori Bilangan, ya kann?

Entah itu belajarnya buat PTS, PAS, ulangan harian, atau kamu lagi ambis nyiapin UTBK. Yapp, kamu bakal belajar itu di artikel ini, jadi baca sampe selesai.

Apa itu Teori Bilangan?

Teori bilangan adalah salah cabang ilmu dari matematika murni yang menelaah mengenai sifat-sifat bilangan.

Apa aja sih Jenis-Jenis Bilangan itu?

Ada beberapa macam jenis bilangan nih gengs, tenang aja kalo kamu belum tahu.

1. Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan negatif, nol, dan bilangan positif. Bilangan bulat tidak memiliki komponen pecahan atau desimal.
Contoh: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

2. Bilangan Asli

Bilangan asli adalah bilangan positif yang dimulai dari angka 1 dan digunakan untuk menghitung atau enumerasi. Bilangan asli tidak termasuk nol, negatif, atau pecahan.
Contoh: 1, 2, 3, 4, 5, …

3. Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah bilangan bulat non-negatif yang dimulai dari nol. Ini adalah kumpulan bilangan yang digunakan untuk menghitung benda nyata dan termasuk nol.
Contoh: 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

4. Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 dan hanya memiliki dua faktor pembagi, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Dengan kata lain, bilangan prima hanya bisa dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri.
Contoh: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

5. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dinyatakan sebagai hasil bagi atau pecahan $\frac{a}{b}$, di mana 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan bulat, dan 𝑏 ≠ 0. Bilangan rasional mencakup bilangan bulat, pecahan, dan desimal yang berulang atau berakhir.
Contoh: $\frac{1}{2},-3,\frac{7}{3},4.75,9.3333\dots$

7. Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak bisa dinyatakan sebagai pecahan $\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat. Bilangan irasional memiliki
representasi desimal yang tidak berulang dan tidak berakhir.
Contoh: $\pi ,\sqrt{2},\sqrt{3},e$

8. Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang terdiri dari pembilang dan penyebut, dimana penyebut tidak sama dengan nol. Pecahan merepresentasikan bagian dari keseluruhan. Bentuk umumnya adalah $\frac{a}{b}$, dengan $a$ sebagai pembilang dan $b$ sebagai penyebut.
Contoh: $\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8}$

Apa aja sih Sifat-Sifat Bilangan itu?

Nah setelah kita ngerti tentang jenis-jenis bilangan, ada beberapa sifat bilangan yang harus kamu tahu nih guyss,

1. Sifat Tertutup

Sifat tertutup berarti hasil operasi penjumlahan atau perkalian dua bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat, maka $a+b$ juga bilangan bulat.
Contoh: 3 + (-5) = -2 (bilangan bulat)

2. Sifat Komutatif

Sifat komutatif berlaku untuk operasi penjumlahan dan perkalian. Sifat ini menyatakan bahwa urutan bilangan tidak mempengaruhi hasil operasi.

$a+b=b+a$
$a\times b=b\times a$

Contoh: 4 + 3 = 3 + 4

3. Sifat Asosiatif

Sifat asosiatif berlaku untuk penjumlahan dan perkalian. Sifat ini menyatakan bahwa cara pengelompokan bilangan dalam operasi penjumlahan atau perkalian tidak mempengaruhi hasil.

$(a+b)+c=a+(b+c)$
$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

Contoh: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

4. Sifat Distributif

Sifat distributif memungkinkan kita untuk mengalikan suatu bilangan dengan jumlah (atau selisih) dua bilangan lainnya.

$a(b+c)=ab\times ac$

Contoh: 6(2 + 3) = (6 × 2) + (6 × 3)

5. Mempunyai Unsur identitas

Unsur identitas adalah bilangan yang ketika dioperasikan dengan bilangan lain tidak mengubah nilai bilangan tersebut. Ada dua unsur identitas dalam bilangan bulat:

a. Unsur Identitas Penjumlahan
Angka 0 adalah unsur identitas penjumlahan, karena $a+0=a$ untuk setiap bilangan bulat $a$.

b. Unsur Identitas Perkalian
Angka 1 adalah unsur identitas perkalian, karena $a\times 1=a$ untuk setiap bilangan bulat $a$.

6. Mempunyai Invers

Invers adalah lawan dari suatu bilangan yang ketika dioperasikan dengan bilangan tersebut, menghasilkan unsur identitas.

a. Invers Penjumlahan (Invers Adittif)
Invers dari bilangan bulat $a$ adalah $-a$, karena $a+(-a)=0$, di mana $0$ adalah unsur identitas untuk penjumlahan.

b. Invers Perkalian (Invers Multiplikatif)
Invers dari 1 adalah 1 (karena 1 × 1 = 1) dan invers dari −1 adalah −1 (karena −1 × −1 = 1).

Cara pengerjaan operasi bilangan

Operasi bilangan terdiri atas tanda perkalian, pembagian, penjumlahan, dan pengurangan. Dahulukan pengerjaan perkalian atau pembagian kemudian baru kerjakan penjumlahan/ pengurangan.

1. Tabel Tanda Perkalian dan Pembagian

2. Perpindahan Ruas

Jika terjadi perpindahan ruas, maka bilangan yang memiliki tanda positif akan menjadi negatif, dan sebaliknya.

Begitu juga dengan tanda ÷ dan ×, jika pindah ruas akan menjadi tanda yang sebaliknya

Contoh Soal dan Pembahasan :

1. 2022 + 2078 - 2000 x 2 = ...
   Penyelesaian :
   Terdapat tanda penjumlahan dan perkalian pada operasi bilangan sehingga kerjakan terlebih dahulu tanda perkalian.
   2022 + 2078 - (2000 x 2)
   = 2022 + 2078 - 4000
   = 4100-4000
   =400
   Jadi, 2022 + 2078 - 2000 x 2 = 400.
2. Hasil dari (50%-20%+60):2= ...
   Penyelesaian :
   Terdapat tanda kurung sehingga kerjakan terlebih dahulu yang didalam tanda kurung.
   (50%-20%+60):2
   = (30%+60):2
   = (0,3+60):2
   = (60,3):2
   =30,15
   Jadi, (50%-20%+60):2 = 30,15.
3. (-3x6)-(-2+4)+(-10)= ...
   Penyelesaian :
   Terdapat tanda kurung sehingga kerjakan terlebih dahulu yang didalam tanda kurung.
   (-3x6)-(-2+4)+(-10)
   = -18-(2)-10
   =-18-2-10
   =-30
   Jadi, (-3x6)-(-2+4)+(-10) = -30.
4. Tentukan KPK dari 10 dan 15!
   Penyelesaian :
   10 = 2 x 5
   15 = 3 x 5
   KPK = 2 X 3 X 5 = 30
   Jadi, KPK dari 10 dan 15 adalah 30.
5. Tentukan FPB dari 100 dan 50!
   Penyelesaian :
   100= $2^2$ x 550=2x$5^2$
   Tips : cari faktor yang angkanya sama dan mempunyai pangkat terkecil.
   FPB = 2x5 = 10
   Jadi, FPB dari 100 dan 50 adalah 10.

Yuk curi start belajar mulai dari sekarang bareng www.kuadran.co. Miku yakin dengan belajar yang rajin perbanyak latihan soal di sini bakal membuat matematika terasa semakin mudah. Kumpulan soal lainnya bisa banget diklik di link ini www.kuadran.co. Semangat belajar ya.